BAB I KEDUDUKAN TITIK DAN KURVA PADA KOORDINAT CARTESIUS

BAB I KEDUDUKAN TITIK DAN KURVA PADA KOORDINAT CARTESIUS

Sebelum kita membahas titik dan kurva pada sistem koordinat cartesius, kita harus tau dulu nih bagaimana konsep dari titik, bagaimana sifatnya, lalu bagaimana kedudukannya.

Berikut adalah sifat-sifat dari titik.

1. Ttik tidak mempunyai panjang, ukuran, besaran satuan, lebar maupun tinggi.
2. Titik memiliki posisi/kedudukan/letak.
3. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda Noktah.
4. Pada koordinat titik biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, seperti titik A, B, C, dan lain-lain.
   
   

Konsep Titik pada Sumbu Koordinat

Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “a point is that which has no part”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam. Misalnya sebuah bola yang menggelinding pada permukaan bidang miring dapat dinyatakan sebagai sebuah titik yang bergerak sehingga titik tersebut mengalami perpindahan tempat. Posisi bola saat di bagian atas tidak sama dengan posisi bola saat berada di pertengahan bidang. Proses menelaah sifat titik-titik di berbagai posisi tersebut maka dibutuhkan bantuan aljabar untuk menyatakan posisi titik dalam suatu simbol tertentu.

Metode yang digunakan untuk menunjukkan posisi sebuah titik pada sebuah bidang mirip seperti teknik menggambar peta. Posisi suatu tempat pada permukaan bumi dinyatakan oleh koordinat peta yaitu derajat lintang (arah utara atau selatan) dan derajat bujur (arah timur atau barat). Posisi acuan untuk koordinat bujur-lintang tersebut yaitu Kota Greenwich di Inggris.

Geometri analitik menyederhanakan koordinat peta tersebut dengan menggunakan dua garis lurus berpotongan untuk menggantikan kurva meridian dan kurva ekuator. Titik potong kedua garis dijadikan sebagai titik acuan biasanya dinyatakan sebagai titik O. 

Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x^2 + y^2 = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x^2 + y^2 = 1. Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut. 

Teorema Titik

Teorema 1.1 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d
Teorema 1.2 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l
Teorema 1.3 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis x^2 + y^2 = 1  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar  Pembuktian :  Tahap 1           :   Akan dibuktikan untuk sembarang titik pada kedudukan tersebut memenuhi kondisi-kondisi berikut : Diketahui       :   Titik A dan B                        Ruas garis CD tegak lurus dan membagi ruas   garis AB Ditanyakan   :   Apakah untuk sembarang titik P pada ruas garis CD berjarak sama dari A dan B yaitu PA kongruen PG ? Rencana         :   Gambar/Sketsa permasalahan : Harus dibuktikan segitiga PEA kpngruen dengan segitiga PEB agar diperoleh PA kongruen dengan PB Bukti tahap 1

Tahap 2            :   Akan dibuktikan untuk sembarang titik memenuhi kondisi berikut :

Diketahui       :   Sembarang titik Q yang berjarak sama dari titik A dan B yaitu panjang QA kongruen dengan panjang QB

Ditanyakan   :   Apakah Q berada pada sebuah ruas garis yang membagi dua dan tegak lurusAB

Rencana         :   Gambar/Sketsa Masalah bahwa QG tegak lurus AB

Akan dibuktikan dengan menggunakan segitiga-segitiga kongruen bahwa QG membagi dua AB

Bukti Tahap 2

Jadi teorema 1.3 terbukti

Teorema 1.4 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
Teorema 1.5 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2
Teorema 1.6 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)
Teorema 1.7 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya
Teorema 1.8 Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
Teorema 1.9 Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.

Contoh 1

Terdapat dua buah pelampung pada sebuah danau. Seorang perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia selalu berjarak tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan jalur renang yang ditempuh oleh perenang tersebut.

Tahap pemecahan masalah :

1)         Understanding the Problem

a.         Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

Misalkan kedua pelampung adalah titik A dan B dan perenang adalah titik C

Misalkan jarak C ke A adalah d_AC dan jarak C ke B adalah d_CB.

Maka posisi perenang yaitu C terhadap A dan B adalah kumpulan titik-titik sehingga d_CA dan d_CB selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan  titik-titik tersebut ?

b.         Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

Bentuk kumpulan titik-titik sehingga d_CA dan d_CB selalu tetap.

c.         Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

Jarak titik A ke B

d.        Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

Titik A dan B berbeda posisi

Jarak d_CA dan d_CB selalu tetap yaitu d_CA = d_CB untuk meskipun posisi C berubah-ubah

2)        Devising a Plan

Strategi pemecahan masalah yang mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah :

a.          Membuat diagram / gambar

Menggambarkan posisi titik A, B, dan C sesuai kondisi masalah.

b.         Menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan

Memeriksa jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah ini.

3)        Carrying Out the Plan

a.       Membuat diagram / gambar

          

b.         Memeriksa jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai

Teorema 2.3 : Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar

Berdasarkan gambar dan teorema tersebut maka kedudukan perenang terhadap kedua pelampung tersebut dapat dideskripsikan sebagai sebuah ruas garis yang tegak lurus terhadap ruas garis yang menghubungkan kedua pelampung yaitu  dan membagi ruas garis  menjadi dua bagian sama panjang seperti digambarkan sebagai berikut.

4)        Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.         Memeriksa dengan pembuktian : buktikan teorema 2.3 berdasarkan masalah tersebut secara deduktif

b.         Menginterpretasikan penyelesaian permasalahan ini berdasarkan argumentasi (reasonable) dengan menggunakan koordinat dan aljabar

Misalkan koordinat titik C(x, y) di mana d_CA = d_CB dengan koordinat A(x_a, y_a) dan B(x_b, y_b) maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C₁(x₁, y₁), C₂(x₂, y₂), … Cn(x_n, y_n) yaitu : 

(a) jika ruas garis AB tegak lurus sumbu x maka y₁ = y₂ = … = y_n

(b) jika ruas garis AB tegak lurus sumbu y maka x₁ = x₂ = … = x_n

Selanjutnya harus dibuktikan bahwa garis C₁C₂ tegak lurus AB

Dengan bantuan geogebra dapat dilakukan simulasi untuk menunjukkan solusi  untuk tiga posisi C yang berbeda-beda sebagai berikut.

       

          

KOORDINAT CARTESIUS
Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut..

Sistem koordinat dua dimensi

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x, lalu diikuti dengan nilai y. Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Gambar 1

Gambar 1 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 1, titik P berada pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 1 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).

Kuadran	nilai x	nilai y
I	> 0	> 0
II	< 0	> 0
III	< 0	< 0

• 
  

Bagaimana pengaplikasiannya ? berikut ini adalah contohnya :)

gambar 2

Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).

Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).
Penggunaan sistem ini akan mempermudah dan menyederhanakan permasalahan/konsep - konsep dalam aljabar dan geometri.

*tips: guys, jangan lupa download dulu aplikasi geogebra yaa, untuk mempermudah kalian membuat gambar atau kurva dengan mudah*

sumber:

https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Kartesius