BAB II GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU



BAB II GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

Sebelumnya yuk pahami dulu perbedaan titik-titik yang kontinu dan diskrit.

1.     Titik Diskrit :
  • Fungsi diskrit digambarkan sebagai sekumpulan titik-titik
  • Diskrit titik-titiknya tidak bersambungan.
  • Ex:
 

2.    Kontinyu :
  • Fungsi kontinyu digambarkan sebagai kurva.
  • Kontinu gabungan titik-titik yang bersambungan.
  • Ex:
 
1       Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi
1.1      persamaan umum garis
Garis adalah kurva yang berderajat 1, jadi titik-titik yang beersambung tersebut membentuk suatu garis lurus.
Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Persamaan umum garis adalah sbb:
Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil
Sehingga, Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.
Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1:
Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva
Garis melalui A(1, 2)   A(1) + B(2) + C = 0  A + 2B + C = 0          (pers. 1)
Garis melalui B(-3, 4)  A(3) + B(-4) + C= 0  -3A + 4B + C = 0    (pers. 2)
Garis melalui C(5, 0)  A(5) + B(0) + C  = 0  5A + C = 0               (pers. 3)

Langkah 2:
Membuat sistem persamaan linier tiga variabel
𝐴+2𝐵+𝐶=0
3𝐴+4𝐵+𝐶=0
5𝐴+𝐶=0

Langkah 3
Menyelesaikan sistem persamaan linier
Setelah menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode eliminasi maupun subtitusi di dapat penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu:
A = 1, B = 2 dan C = -5
Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1,2), B(-3,4), dan C(5,0) yaitu x + 2y - 5 = 0
Kurva yang tergambar adalah sbb:

1.2      Sudut Inklinasi Garis
Garis x + 2y - 5 = 0 seperti ditunjukkan pada gambar di atas membentuk sudut terhadap sumbu x positif. Besarnya sudut yang terbentuk tersebut akan mempengaruhi kemiringan garis. Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan oleh sudut α (alfa).
1.3      Kemiringan Garis
Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.
y = mx + c adalah bentuk umum persamaan garis lurus yang didapat dari bentuk Ax+By+C =0 yang berarti m=-A/B. Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.
Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol (kondisi saat garis sejajar sumbu x), tak hingga (jika garis sejajar sumbu y) dan tidak terdefinisi.

Mendeskripsikan Garis berdasarkan Gradien & Sudut Inklinasi
Perhatikan gambar sebuah garis berikut. 
Garis tersebut melalui dua titik yaitu P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Sudut yang dibentuk garis P1 P2 adalah α. Pada gambar terlihat sebuah segitiga siku-siku dengan hipotenusa P1 P2, panjang sisi alas x2 - x1 dan panjang sisi tegak y2 - y1. Nilai tangent sudut α dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan :
Jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.
Ø  Sudut inklinasi positif (mengarah ke sumbu-x positif)



Ø  Sudut Inklinasi Negatif (mengarah ke sumbu x negatif)
 

Contoh:
Persamaan kurva berderajat satu pada contoh 5 dapat diubah menjadi persamaan garis bergradien dengan langkah sebagai berikut.
x + 2y - 5 = 0
2y = -x + 5
𝒚= −𝟏𝟐𝒙+ 𝟓𝟐
maka gradien garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) adalah m = - ½ yaitu bergradien negatif. Sudut inklinasi yang dibentuk garis tersebut yaitu :
𝜶=𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 (−𝟏/𝟐)≈−𝟎,𝟒𝟔𝟒 𝒓𝒂𝒅 ≈ −𝟐𝟔,𝟓𝟕° ≈𝟏𝟓𝟑,𝟒𝟑°

Macam-macam Nilai Gradien

1.     Grafik dengan gradien bernilai positif

2.    Grafik dengan gradien bernilai negatif

3.    Grafik dengan gradien bernilai nol dan tak terdefinisi
Gradien garis biru bernilai 0, dan gradien garis merah tak terdefinisi









2. PERSAMAAN NORMAL GARIS

   persamaan normal sebuah garis adalah sbb:
 
     dengan nilai p nya adalah :
 
Persamaan garis Normal
Garis normal adalah yang melalui titik (0,0) dan tegak lurus sb. x dan sb. y. Perhatikan gambar diatas, garis normal dari gambar tersebuat adalah garis AB

Garis normal memiliki persamaan:
 

Jika 2 garis berpotongan tegak lurus maka berlaku gradiennya
m1 × m2 = -1





















Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

persamaan parametrik dan vektor pada bidang

Gambar
A. Persamaan Parametrik  Fungsi parametrik adalah fungsi yang dipengaruhi oleh paramater tertentu. misalnya ” t” . yang biasanya  y=f(x) menjadi x=f(t) dan y=g(t) . Perlunya menggunakan fungsi parametrik adalah karena suatu kurva berubah posisi koordinatnya (x,y) lebih karena dipengaruhi oleh faktor “t”. Sehingga kadang kurva terlihat begitu rumit, model kurva ini dibagi menjadi 4 kelompok 1. kurva tertutup tifdak sederhana 2. kurva tertutup sederhana 3. kurva tidak tertutup tidak sederhana 4. kurva tidak tertutup tidak sederhana Berikut ini contoh sebuah fungsi parametrik dan bagaimana membuat gambarnya Untuk membuat gambarnya, lebih mudah untuk membuat tabel 3 kolom seperti dibawah ini kemudian baru digambar. Buatlah titik-titik koordinat (x,y) hasil dari memasukkan nilai “t” ke dalam persamaan f(t) dan g(t), kemudian dilanjutkan dengan membentuk kurva yang mulus Terlihat dari gambar di atas, adalah sebuah kurva parabola. Dan kita bisa mengetah
Terus membaca

BAB 6 Koordinat Kartesius, Vektor, dan Persamaan Bidang dalam Ruang Dimensi BAHAGIAN 1

Gambar
Mungkin sebelumnyai, kita telah memberikan perhatian utama pada sistem koordinat dua dimensi. Akan tetapi dalam mempelajari kalkulus kita akan memerlukan sistem koordinat tiga dimensi. Kita dapat membangun sistem ini dengan membuat sumbu- z yang memotong tegak lurus sumbu- x dan sumbu- z pada titik asal, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. Jika kita memasangkannya, sumbu-sumbu tersebut akan membentuk tiga bidang koordinat : bidang- xy , bidang- xz , dan bidang- yz . Ketiga bidang koordinat ini akan memisahkan ruang menjadi delapan oktan. Oktan pertama berisi titik-titik yang semua koordinatnya positif. Dalam sistem tiga dimensi ini, suatu titik P dalam ruang ditentukan dengan tripel berurutan ( x , y , z ), dimana x , y , dan z dijelaskan sebagai berikut. x = jarak langsung dari bidang- yz ke P y = jarak langsung dari bidang- xz ke P z = jarak langsung dari bidang- xy ke P Beberapa titik ditunjukkan dalam Gambar 2 berikut. . Dengan melakukan ini, kita akan
Terus membaca

BAB I KEDUDUKAN TITIK DAN KURVA PADA KOORDINAT CARTESIUS

Gambar
BAB I KEDUDUKAN TITIK DAN KURVA PADA KOORDINAT CARTESIUS Sebelum kita membahas titik dan kurva pada sistem koordinat cartesius, kita harus tau dulu nih bagaimana konsep dari titik, bagaimana sifatnya, lalu bagaimana kedudukannya. Berikut adalah sifat-sifat dari titik. T tik t idak mem punyai panjang, ukuran, besaran satuan, lebar maupun tinggi. Titik memiliki posisi /kedudukan/letak. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda Noktah. Pada koordinat t itik biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, seperti titik A, B, C, dan lain-lain. Konsep Titik pada Sumbu Koordinat Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “a point is that which has no part” . Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam.
Terus membaca