Bentuk Umum Irisan Kerucut sebagai Kurva Berderajat Dua

Jika diberikan sebuah kerucut kemudian kerucut tersebut dipotong dengan berbagai cara maka akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk irisan yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut (conic section). Bentuk-bentuk irisan keruct seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola.

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik.
 
Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.
Semua persamaan berderajat dua seperti di atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva yang dinamakan irisan kerucut (conic). Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :
ax2 + by2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0
dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.
Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol
atau
ax2 + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
dengan nilai koefisien a dan b keduanya tidak bersamaan bernilai nol.
Pertanyaan 3 - 1 :     Diberikan 5 titik berbeda yaitu P(1, 1), Q(2, 3), R(0, 5), S(-1, 3), T(-1, 0) dan U(0, 0) tentukan persamaan kurva berderajat dua yang melalui kelima titik tersebut. Hubungkan kelima titik oleh sebuah kurva tertutup sederhana, lalu dugalah bentuk kurva tersebut sebagai salah satu bentuk irisan kerucut.
Penyelesaian :
Diketahui      :    Enam titik yang dilalui sebuah kurva berderajat dua yaitu :
                          P(1, 1), Q(2, 3), R(0, 5), S(-1, 3), T(-1, 0) dan U(0, 0)
                          Persamaan umum kurva berderajat dua : Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Ditanyakan   :    Persamaan dan bentuk kurva berderajat dua … ?
Identifikasi masalah    : Persamaan kurva berderajat dua memiliki 5 suku yaitu x2, y2, xy, x dan y serta 6 koefisien yang belum diketahui yaitu A, B, C, D, E dan F. Untuk menentukan persamaan kurva yang melalui keenam titik maka substitusikan keenam titik ke persamaan umum kurva sehingga diperoleh 6 persamaan yang membentuk sebuah sistem persamaan linier. Penyelesaian sistem persamaan linier menggunakan metode substitusi.
Langkah Penyelesaian :
Langkah 1 : Substitusi titik-titik pada kurva ke persamaan umum kurva berderajat dua
P(1, 1) Þ   A + B + C + D + E + F = 0
Q(2, 3) Þ   4A + 9B + 6C + 2D + 3E + F = 0
R(0, 5) Þ   25B + 5E + F = 0
S(-1, 3) Þ  A + 9B - 3C - D + 3E + F = 0
T(-1, 0) Þ  A - D + F = 0
U(0, 0) Þ   F = 0
Langkah 2 : Membentuk sistem persamaan
Karena diperoleh F = 0 maka dapat dibentuk sistem persamaan linier berikut :


Langkah 3 : Penyelesaian sistem persamaan
Dari sistem persamaan di atas diperoleh bahwa A = D dan E = -5B di mana A ¹ B ¹ 0. Misal A = 1 maka D = 1 sehingga :
Langkah 4 : Membentuk persamaan kurva berderajat dua yang melalui keenam titik
Dengan demikian didapatkan persamaan kurva berderajat dua :
x2 +  y2 -  xy + x -  y = 0 atau 3x2 + y2 - 2xy + 3x - 5y = 0

       Langkah 5 : Pemeriksaan kedudukan titik-titik terhadap kurva bersesuaian dengan persamaa
Langkah berikutnya adalah menggambarkan kedudukan titik-titik dan memeriksa kebenaran apakah kurva melalui keenam titik tersebut. Dari gambar terlihat bahwa benar keenam titik dilalui oleh sebuah kurva berderajat dua yang disebut elips.

1. LINGKARAN
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu
Persamaan Umum lingkaran
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 ,
Dengan nilai A = 1, B = 1, C = 0, D = -2a, E = -2b, F = konstan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dengan jari-jari r satuan adalah
x2 + y2 = r2
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dengan jari-jari r satuan adalah
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
Sifat Geometris dari lingkaran yaitu suatu lingkaran memiliki jari-jari yang sama terhadap satu titik pusat
Sifat Aljabar suatu lingkaran yaitu persamaan lingkaran dengan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2
Esentristitas (e) adalah perbandingan jarak titik Fokus ketitik P (d) dan titik P ke garis Direktris (d’)
                e =   → e = 1 jika d = d’
                                e < 1 jika d < d’
                                e > 1 jika d > d’
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
Contoh
1.       Tentukan Persamaan Garis Singgung lingkaran x2 + y2 = 25 sejajar gais y = 2x + 3 .
Identifikasi masalah
Diketahui : titik P (0,0) , dengan r = 5
h : y = 2x + 3 , maka mh  = 2
misalkan garis singgung lingkaran k sejajar dengan h , maka mk = mh
Ditanya : P1 dan P2 ..?
Jawab : P1 dan P2 adalah titik pada lingkaran, maka x12 + y12 = 25 , x22 + y22 = 25
P1 dan k pada garis singgung, maka y = 2x1 + c , y = 2x2 + c,
Substitusikan nilai x2 + y2 = 25 sejajar gais y = 2x + c
x2 + (2x + c)2 = 25
x2 + 4x2 + 4xc + c2 = 25
5x2 + 4cx + c2  - 25 = 0
Agar memiliki solusi real, maka D = 0
b2- 4ac = 0
(4c)2 – 4(5)( c2  - 25) = 0
16c2 – 20c2- 500 = 0
4c2 = 500
c2 = 125
c1 = 5√5
c2 = -5√5
Masukkan ke persamaan y = 2x + c , menjadi y = 2x + 5√5 dan y = 2x - 5√5
Jika diketahui garissinggung y = mx +n dan lingkaran x2 + y2 = r2 , maka persamaan garis singgung yang sejajar y = mx + n yaitu
y = mx+ k dimana k = ±r    ,
 sehingga diperoleh garis singgung
y = mx + r dan y = mx - r
2.       Jika diketahui persaman (x-2)2 + (y-3)2 = 16 . apakah A(5 , 9) beradadi luar atau di dalam lingkaran atau pada lingkaran.
Penyelesaian : Substitusikan titik A(5 , 9)  pada persamaan (x-2)2 + (y-3)2 = 16
                                Menjadi  (5-2)2 + (9-3)2 = 16
                                                                9 + 36    = 16
                                                                58           ≥ 16
Karena 58 ≥ 16 , berarti titik A berada di luar lingkaran


Ø   ELIPS



Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan.  Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.

Bentuk Umum Persamaan Elips :         
  a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a tidak sama dengan b

Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :
        jika r1= r2 maka akan menjadi lingkaran.

Contoh :
Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :
 
Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 )
              Karena  r1 <  r2 maka sumbu mayor elips // sumbu vertikal Y
              r1 adalah jari-jari pendek dan r2adalah jari-jari panjang

Hitunglah : pada titik koordinat berapakah terjadi perpotongan kurva elips dengan sumbu X dan sumbu Y.







 


Ø HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot) merupakan pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 ; dimana  a dan b berlawanan tanda

Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :

        
dimana  ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.

Ø PARABOLA 

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks.    Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.












 

Persamaan parabola :    

Ø  y = a X 2 + b X + c  jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y)
Ø  X = a Y 2 + b Y + c  jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x)


Contoh : Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan y) dari parabola berikut :
   Y = - X 2 + 6 X – 2

Sumbu simetri sejajar sumbu Y
Karena nilai  a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.
Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik
koordinat :


Perpotongan dengan sumbu Y terjadi pada saat  X = 0 à Y = - 2

Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat  Y = 0 à

 0 = - X 2 + 6 X – 2

Dengan menggunakan rumus a b c diperoleh

 X1 = 5,65  dan   X2 = 0,35
 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

persamaan parametrik dan vektor pada bidang

Gambar
A. Persamaan Parametrik  Fungsi parametrik adalah fungsi yang dipengaruhi oleh paramater tertentu. misalnya ” t” . yang biasanya  y=f(x) menjadi x=f(t) dan y=g(t) . Perlunya menggunakan fungsi parametrik adalah karena suatu kurva berubah posisi koordinatnya (x,y) lebih karena dipengaruhi oleh faktor “t”. Sehingga kadang kurva terlihat begitu rumit, model kurva ini dibagi menjadi 4 kelompok 1. kurva tertutup tifdak sederhana 2. kurva tertutup sederhana 3. kurva tidak tertutup tidak sederhana 4. kurva tidak tertutup tidak sederhana Berikut ini contoh sebuah fungsi parametrik dan bagaimana membuat gambarnya Untuk membuat gambarnya, lebih mudah untuk membuat tabel 3 kolom seperti dibawah ini kemudian baru digambar. Buatlah titik-titik koordinat (x,y) hasil dari memasukkan nilai “t” ke dalam persamaan f(t) dan g(t), kemudian dilanjutkan dengan membentuk kurva yang mulus Terlihat dari gambar di atas, adalah sebuah kurva parabola. Dan kita bisa mengetah
Terus membaca

BAB 6 Koordinat Kartesius, Vektor, dan Persamaan Bidang dalam Ruang Dimensi BAHAGIAN 1

Gambar
Mungkin sebelumnyai, kita telah memberikan perhatian utama pada sistem koordinat dua dimensi. Akan tetapi dalam mempelajari kalkulus kita akan memerlukan sistem koordinat tiga dimensi. Kita dapat membangun sistem ini dengan membuat sumbu- z yang memotong tegak lurus sumbu- x dan sumbu- z pada titik asal, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. Jika kita memasangkannya, sumbu-sumbu tersebut akan membentuk tiga bidang koordinat : bidang- xy , bidang- xz , dan bidang- yz . Ketiga bidang koordinat ini akan memisahkan ruang menjadi delapan oktan. Oktan pertama berisi titik-titik yang semua koordinatnya positif. Dalam sistem tiga dimensi ini, suatu titik P dalam ruang ditentukan dengan tripel berurutan ( x , y , z ), dimana x , y , dan z dijelaskan sebagai berikut. x = jarak langsung dari bidang- yz ke P y = jarak langsung dari bidang- xz ke P z = jarak langsung dari bidang- xy ke P Beberapa titik ditunjukkan dalam Gambar 2 berikut. . Dengan melakukan ini, kita akan
Terus membaca

BAB I KEDUDUKAN TITIK DAN KURVA PADA KOORDINAT CARTESIUS

Gambar
BAB I KEDUDUKAN TITIK DAN KURVA PADA KOORDINAT CARTESIUS Sebelum kita membahas titik dan kurva pada sistem koordinat cartesius, kita harus tau dulu nih bagaimana konsep dari titik, bagaimana sifatnya, lalu bagaimana kedudukannya. Berikut adalah sifat-sifat dari titik. T tik t idak mem punyai panjang, ukuran, besaran satuan, lebar maupun tinggi. Titik memiliki posisi /kedudukan/letak. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda Noktah. Pada koordinat t itik biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, seperti titik A, B, C, dan lain-lain. Konsep Titik pada Sumbu Koordinat Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “a point is that which has no part” . Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam.
Terus membaca